[Tổng hợp] Bất đẳng thức Cosi đầy đủ nhất 2023

Bất đẳng thức Cosi là một trong những kiến thức toán học phổ biến, được dùng để giải nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau cũng giống như tìm giá trị lớn nhất và thành quả nhỏ nhất của biểu thức. trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu một cách rõ ràng hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, cho 3 số, dạng tổng quát và hệ quả với một vài bài tập vận dụng có đáp án. Bangxephang gửi đến bạn

Bạn có thể xem thêm gợi ý Lý giải vì sao cafe được trồng nhiều ở tây nguyên

Mục Lục

Bất đẳng thức Cosi là gì?

Bất đẳng thức Côsi là gì? (Nguồn: Internet)

Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức cổ điển trong toán học, bắt nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng minh bởi nhà toán học người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài tên Cosi, phần đông người còn gọi là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean).

Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi sẽ được biểu diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng đáng chú ý không giống nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với các số thực không âm x1, x2,…, xn ta có khả năng biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau:

beginaligned &bull textbfDạng 1: fracx_!+x_2+…+x_nnge sqrt[n]x_1.x_2…x_n &bull textbfDạng 2: x_1+x_2+…+x_nge n. Sqrt[n]x_1.x_2…x_n &bull textbfDạng 3:left(fracx_!+x_2+…+x_nn right)^nge x_1.x_2…x_n endaligned​∙Dạng 1:nx!​+x2​+…+xn​​≥nx1​.x2​…xn​​∙Dạng 2:x1​+x2​+…+xn​≥n.nx1​.x2​…xn​​∙Dạng 3🙁nx!​+x2​+…+xn​​)n≥x1​.x2​…xn​​

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn

Với các số thực dương x1, x2,…, xn ta có:

fDạng 1: frac1x_1+frac1x_2+…+frac1x_nge fracn^2x_1+x_2+…+x_n &bull textbfDạng 2: (x_1+x_2+…+x_n)left( frac1x_1+frac1x_2+…+frac1x_nright) ge n^2 endaligned​∙Dạng 1:x1​1​+x2​1​+…+xn​1​≥x1​+x2​+…+xn​n2​∙Dạng 2🙁x1​+x2​+…+xn​)(x1​1​+x2​1​+…+xn​1​)≥n2​

Dấu “=” xuất hiện khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn

Dạng đáng chú ý của bất đặng thức Cauchy

một số dạng biểu diễn đáng chú ý khác của bất đẳng thức Côsi:

Hệ quả của bất đẳng thức Côsi

Từ bí quyết tổng quát và các dạng đáng chú ý, ta có 2 hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy mà các em cần ghi nhớ phía dưới. Các hệ quả này hay được Áp dụng nhiều trong việc tìm giá trị khổng lồ nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Hệ quả 1: nếu như tổng của 2 số dương không đổi thì tích của chúng khổng lồ nhất khi 2 số đấy bằng nhau.
Hệ quả 2: nếu tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Chứng minh bất đẳng thức cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm

Với 2 số thực không âm a và b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Lúc này, ta chỉ phải chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương.

Lý Thuyết rất đầy đủ Về Số Phức. Cách Giải Bài Tập Số Phức Bằng Máy Tính Cầm Tay

Cách chứng minh như sau:

beginaligned &fraca+b2ge sqrtab &Leftrightarrow a+b ge 2sqrtab &Leftrightarrow a-2sqrtab+bge 0 &Leftrightarrow (sqrta-sqrtb)^2 ge0text (luôn đúng forall a,bge0) endaligned​2a+b​≥ab​⇔a+b≥2ab​⇔a−2ab​+b≥0⇔(a​−b​)2≥0 (luoˆn đuˊng ∀a,b≥0)​

Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn đúng với 2 số thực không âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm

Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúng
Với a, b, c dương, ta chứng minh BĐT Cosi như sau:

begin aligned &text Đặt x=sqrt[3]a, y=sqrt[3]b, z=sqrt[3]c &Rightarrow x,y,zge0Rightarrow x+y+zge0 end aligned ​Đặt x =3 a ​, y =3 b ​, z =3 c ​\Rightarrow x, y, z \geq0\Rightarrow x + y + z \geq0​

Lúc này, ta quay về dạng chứng minh bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương

begin aligned &(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ge0 &Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)ge 0 &Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)ge 0 &Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0 &Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0 &Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)ge 0 &Leftrightarrow (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]ge 0text (luôn đúng forall x,y,zge0) end aligned ​(x + y)3-3 x y (x + y)+ z 3-3 x yz \geq0\Leftrightarrow(x + y + z)[(x + y)2-(x + y) z + z 2]-3 x y (x + y + z)\geq0\Leftrightarrow(x + y + z)(x 2+ y 2+ z 2+2 x y - x z - yz)-3 x y (x + y + z)\geq0\Leftrightarrow(x + y + z)(x 2+ y 2+ z 2- x y - x z - yz)\geq0\Leftrightarrow2(x + y + z)(x 2+ y 2+ z 2- x y - x z - yz)\geq0\Leftrightarrow(x + y + z)(2 x 2+2 y 2+2 z 2-2 x y -2 x z -2 yz)\geq0\Leftrightarrow(x + y + z)[(x - y)2+(y - z)2+(x - z)2]\geq0 (luoˆn đuˊng \forall x, y, z \geq0)​

lúc đó, dấu bằng xuất hiện khi x = y = z hay a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn đúng.

vì vậy, để chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách chứng minh như sau:

x_1+x_2+\dots+x_nge nsqrt[n] x_1x_2\dotsx_n +nsqrt[n] x_n+1x_n+2\dotsx_2n ge 2nsqrt[2n] x_n+1x_n+2\dotsx_2n x 1​+ x 2​+\dots+ x n ​\geq n n x 1​ x 2​\dots x n ​​+ n n x n +1​ x n +2​\dots x 2 n ​​\geq2 n 2 n x n +1​ x n +2​\dots x 2 n ​​

Theo tính chất quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là một lũy thừa của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta chứng minh được nó luôn đúng với n-1 số như sau:

beginaligned &x_1+x_2+…x_nge nsqrt[n]x_1x_2…x_n &x_n=fracsn-1 text với s=x_1+x_2+…+x_n &Rightarrow s ge (n-1)sqrt[n-1]x_1x_2…x_n-1 endaligned​x1​+x2​+…xn​≥nnx1​x2​…xn​​xn​=n−1s​ với s=x1​+x2​+…+xn​⇒s≥(n−1)n−1x1​x2​…xn−1​​​

BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn đúng, từ đó ta có khả năng kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn đúng.

Bài tập vận dụng

Dạng 1: sử dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy chứng minh:

left(a+frac1bright)left(b+frac1cright)left(c+frac1aright)ge 8(a+b1​)(b+c1​)(c+a1​)≥8

chỉ dẫn giải:

Tổng Hợp Các Dạng Hình Học không gian Thường Gặp Và Cách Giải

Dùng BĐT Cosi, ta có:

beginaligned &a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca &Leftrightarrow left(a+frac1bright)left(b+frac1cright)left(c+frac1aright)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8text (điều phải chứng minh) endaligned​a+b1​≥2ba​​ ; b+c1​≥2cb​​ ; c+a1​≥2ac​​⇔(a+b1​)(b+c1​)(c+a1​)≥8ba​​.cb​​ac​​=8 (đieˆˋu phải chứng minh)​

Đẳng thức xuất hiện khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: Biến đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:

fracabc+fracbca+fracacbge a+b+ccab​+abc​+bac​≥a+b+c

hướng dẫn giải:

sử dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

beginaligned &fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1) &fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2) &fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3) &(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacbright)ge 2(a+b+c) &Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+ctext (điều phải chứng minh) endaligned​cab​+abc​≥2cab​.abc​​=2b (1)abc​+bac​≥2abc​.bac​​=2c (2)cab​+bac​≥2abc​.bac​​=2a (3)(1)+(2)+(3)⇔2(cab​+abc​+bac​)≥2(a+b+c)⇔cab​+abc​+bac​≥a+b+c (đieˆˋu phải chứng minh)​

Đẳng thức xuất hiện khi a = b = c.

Xem thêm: Lý giải vì sao đỉnh Phan Xi Păng được gọi là nóc nhà của tổ quốc

Tổng kết

Qua bài content trên đây, Team Marathon Education đã sẻ chia đến các em toàn bộ nội dung liên quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với những dạng bài tập thường gặp có đáp án chi tiết. Hy vọng Bangxephang với những kiến thức này, các em có thể giải tốt các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài kiểm tra toán sắp tới.