Bất đẳng thức Cosi là một trong những kiến thức toán học phổ biến, được dùng để giải nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau cũng giống như tìm giá trị lớn nhất và thành quả nhỏ nhất của biểu thức. trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu một cách rõ ràng hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, cho 3 số, dạng tổng quát và hệ quả với một vài bài tập vận dụng có đáp án. Bangxephang gửi đến bạn
Bạn có thể xem thêm gợi ý Lý giải vì sao cafe được trồng nhiều ở tây nguyên
Bất đẳng thức Cosi là gì?
Bất đẳng thức Côsi là gì? (Nguồn: Internet)
Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức cổ điển trong toán học, bắt nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng minh bởi nhà toán học người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài tên Cosi, phần đông người còn gọi là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean).
Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cosi
Bất đẳng thức Côsi sẽ được biểu diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng đáng chú ý không giống nhau.
Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát
- Với các số thực không âm x1, x2,…, xn ta có khả năng biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn
- Với các số thực dương x1, x2,…, xn ta có:
Dấu “=” xuất hiện khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn
Dạng đáng chú ý của bất đặng thức Cauchy
một số dạng biểu diễn đáng chú ý khác của bất đẳng thức Côsi:
Hệ quả của bất đẳng thức Côsi
Từ bí quyết tổng quát và các dạng đáng chú ý, ta có 2 hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy mà các em cần ghi nhớ phía dưới. Các hệ quả này hay được Áp dụng nhiều trong việc tìm giá trị khổng lồ nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
- Hệ quả 1: nếu như tổng của 2 số dương không đổi thì tích của chúng khổng lồ nhất khi 2 số đấy bằng nhau.
- Hệ quả 2: nếu tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Chứng minh bất đẳng thức cosi
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm
Với 2 số thực không âm a và b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Lúc này, ta chỉ phải chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương.
Cách chứng minh như sau:
Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn đúng với 2 số thực không âm.
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm
- Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúng
- Với a, b, c dương, ta chứng minh BĐT Cosi như sau:
Lúc này, ta quay về dạng chứng minh bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương
lúc đó, dấu bằng xuất hiện khi x = y = z hay a = b = c
Chứng minh bất đẳng thức cosi với n số thực không âm
Theo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn đúng.
vì vậy, để chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách chứng minh như sau:
Theo tính chất quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là một lũy thừa của 2.
Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta chứng minh được nó luôn đúng với n-1 số như sau:
BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn đúng, từ đó ta có khả năng kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn đúng.
Bài tập vận dụng
Dạng 1: sử dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp
Cho 3 số dương a, b, c, hãy chứng minh:
left(a+frac1bright)left(b+frac1cright)left(c+frac1aright)ge 8(a+b1)(b+c1)(c+a1)≥8
chỉ dẫn giải:
Dùng BĐT Cosi, ta có:
beginaligned &a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca &Leftrightarrow left(a+frac1bright)left(b+frac1cright)left(c+frac1aright)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8text (điều phải chứng minh) endaligneda+b1≥2ba ; b+c1≥2cb ; c+a1≥2ac⇔(a+b1)(b+c1)(c+a1)≥8ba.cbac=8 (đieˆˋu phải chứng minh)
Đẳng thức xuất hiện khi và chỉ khi a = b = c.
Dạng 2: Biến đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thức
Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:
fracabc+fracbca+fracacbge a+b+ccab+abc+bac≥a+b+c
hướng dẫn giải:
sử dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
beginaligned &fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1) &fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2) &fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3) &(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacbright)ge 2(a+b+c) &Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+ctext (điều phải chứng minh) endalignedcab+abc≥2cab.abc=2b (1)abc+bac≥2abc.bac=2c (2)cab+bac≥2abc.bac=2a (3)(1)+(2)+(3)⇔2(cab+abc+bac)≥2(a+b+c)⇔cab+abc+bac≥a+b+c (đieˆˋu phải chứng minh)
Đẳng thức xuất hiện khi a = b = c.
Xem thêm: Lý giải vì sao đỉnh Phan Xi Păng được gọi là nóc nhà của tổ quốc
Tổng kết
Qua bài content trên đây, Team Marathon Education đã sẻ chia đến các em toàn bộ nội dung liên quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với những dạng bài tập thường gặp có đáp án chi tiết. Hy vọng Bangxephang với những kiến thức này, các em có thể giải tốt các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài kiểm tra toán sắp tới.