Hệ thức lượng trong tam giác vuông là phần kiến thức quan trọng mà các bạn học sinh cần phải nắm để giải được nhiều dạng bài tập liên quan. Cùng xem bài viết hôm nay của bangxephang để hiểu hơn về nội dung này nhé!
Bạn đang xem bài viết: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Sau đây, chúng ta ghi lại một số công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông (về cạnh và đường cao) như sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, ta có các hệ thức sau:
- b² = ab’ ; c² = ac’
- h² = b’c’
- ah = bc
- b² + c² = a² (Định lí Pytago)
- 1/h² = 1/b² +1/c²
Xem thêm: Tổng hợp hệ thức lượng trong tam giác sin cos CHUẨN SGK
Cách nhớ hệ thức lượng trong tam giác vuông: Các em có thể tự vẽ lại hình và đặt tên sau đó viết lại công thức.
Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông
1. Chứng minh b² = ab’ ; c² = ac’
Xét hai tam giác vuông AHC và BAC.
Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau.
Do đó HC/AC = AC/BC ⇒ AC² = BC.HC
Tức là b² = ab’.
Tương tự, ta có c² = ac’. (đpcm)
2. Chứng minh h² = b’c’
Xét tam giác AHB và CHA có:
∠BAH = ∠ACH (cùng phụ với góc HAC)
∠AHB = ∠AHC ( = 90°)
⇒ ΔAHB đồng dạng với ΔCHA (g.g)
⇒ AH/CH = BH/AH ⇒ AH² = CH.BA
Tức là h² = b’c’ (đpcm)
3. Chứng minh ah = bc
Từ công thức tính diện tích hình tam giác ABC, ta có:
S ΔABC = 1/2.a.h = a/2. bc ⇒ ah = bc
4. Chứng minh 1/h² = 1/b² + 1/c²
Từ hệ thức ah = bc ⇒ a²h² = b²c² = (b² + c²)h² = b²c²
⇒ 1/h² = (b² + c²)/(b²c²)
Từ đó ta có
1/h² = 1/b² + 1/c²
Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Phát biểu 4 định lí hệ thức lượng trong tam giác vuông
Định lí 1
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
b² = ab’ ; c² = ac’
Định lí 2
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
h² = b’c’
Định lí 3
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
ah = bc
Định lí 4
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Chú ý: không nên nhớ công thức theo kiểu học thuộc, vì khi vẽ hình có thể đặt tên các đỉnh A, B, C ở vị trí khác nhau, nếu cứ quy b là cạnh đối với góc B và c là cạnh đối với góc C thì tính h có thể sẽ sai.
Phương pháp giải bài tập về các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ta có 2 dạng bài phổ biến nhất trong chương trình Toán học về hệ thức lượng giác trong tam giác vuông như sau
Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Cách giải
Trước hết, các em phải nắm được các hệ thức lượng trong tam giác vuông về cạnh và đường cao.
Bước 1: Xác định vị trí cạnh huyền, tìm mối liên hệ giữa cạnh đã biết và cạnh cần tìm
Bước 2: Áp dụng công hệ thức về cạnh và đường cao để tìm độ dài của các cạnh chưa biết.
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cách giải
Khi nắm được các hệ thức lượng trong tam giác vuông về cạnh và đường cao, ta chú ý áp dụng một cách hợp lý nhé!
Bước 1: Ta vẽ hình, chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.
Bước 2: Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông được học để tìm ra mối liên hệ rồi rút ra hệ thức cần chứng minh.
Bài tập luyện tập tại nhà
Bài 1: Hãy tính x và y trong mỗi hình vẽ sau:
Giải:
Ta nhớ đến hệ thức lượng trong tam giác vuông liên quan đến cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:
AB² = BH. BC
AC² = CH. BC
Mà ta có thể tính BC dựa vào Định lí Pytago: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100 ⇒ BC = 10.
Ta sẽ tính được: x = BH = AB² /BC = 36/10 = 3,6.
y = AC² /BC = 64/10 = 6,4.
Bài 2:
Cho tam giác CED nhọn, đường cao CH. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD, CE. Chứng minh:
a) CD. CM = CE. CN
b) Tam giác CMN đồng dạng với tam giác CED.
a) Ta cần chứng minh CM.CD = CN. CE
Trước hết, ta cần viết ra CM. CD = ?
Áp dụng hệ thức lượng về cạnh và đường cao:
Trong tam giác vuông CDH : CM.CD = CH²
Trong tam giác vuông CHE: CN.CE = CH²
Như vậy CM. CD = CN.CE (vì cùng = CH²) là điều ta phải chứng minh.
b) Ta cần chứng minh tam giác CMN đồng dạng tam giác CED. Đầu tiên cần tìm xem hai tam giác này có góc chung hay không, có mối liên hệ giữa các cạnh của hai tam giác này không? từ câu a có suy ra được điều gì không?
Ta nhận thấy ngay, hai tam giác CMN và CED có góc C là góc chung.
Như vậy ta có tam giác CMN ∼ CED theo trường hợp Cạnh – Góc – Cạnh.
Tổng kết
Như vậy, chúng ta vừa tìm hiểu xong phần kiến thức liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông cùng Bảng Xếp Hạng. Các bạn hãy làm bài tập để củng cố kiến thức nhé!
