Lý thuyết và bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là phần kiến thức quan trọng mà các bạn học sinh cần phải nắm để giải được nhiều dạng bài tập liên quan. Cùng xem bài viết hôm nay của bangxephang để hiểu hơn về nội dung này nhé!

Bạn đang xem bài viết: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Sau đây, chúng ta ghi lại một số công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông (về cạnh và đường cao) như sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, ta có các hệ thức sau:

• b² = ab’ ; c² = ac’
• h² = b’c’
• ah = bc
• b² + c² = a² (Định lí Pytago)
• 1/h² = 1/b² +1/c²

Xem thêm: Tổng hợp hệ thức lượng trong tam giác sin cos CHUẨN SGK

Cách nhớ hệ thức lượng trong tam giác vuông: Các em có thể tự vẽ lại hình và đặt tên sau đó viết lại công thức.

Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Chứng minh b² = ab’ ; c² = ac’

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC.

Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau.

Do đó HC/AC = AC/BC ⇒ AC² = BC.HC

Tức là b² = ab’.

Tương tự, ta có c² = ac’. (đpcm)

2. Chứng minh h² = b’c’

Xét tam giác AHB và CHA có:

∠BAH = ∠ACH (cùng phụ với góc HAC)

∠AHB = ∠AHC ( = 90°)

⇒ ΔAHB đồng dạng với ΔCHA (g.g)

⇒ AH/CH = BH/AH ⇒ AH² = CH.BA

Tức là h² = b’c’ (đpcm)

3. Chứng minh ah = bc

Từ công thức tính diện tích hình tam giác ABC, ta có:

S ΔABC = 1/2.a.h = a/2. bc ⇒ ah = bc

4. Chứng minh 1/h² = 1/b² + 1/c²

Từ hệ thức ah = bc ⇒ a²h² = b²c²  =  (b² + c²)h²  = b²c²

⇒ 1/h² = (b² + c²)/(b²c²)

Từ đó ta có

1/h² = 1/b² + 1/c²

Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

• $b=a.\sin B;c=a.\sin C$
  
• $b=a.\cos C;c=a.\cos B$
• $b=c.\tan B;c=b.\tan C$
• $b=c.\cot C;c=b.\cot B$

Phát biểu 4 định lí hệ thức lượng trong tam giác vuông

Định lí 1

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

b² = ab’ ; c² = ac’

Định lí 2

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

h² = b’c’

Định lí 3

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

ah = bc

Định lí 4

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Chú ý: không nên nhớ công thức theo kiểu học thuộc, vì khi vẽ hình có thể đặt tên các đỉnh A, B, C ở vị trí khác nhau, nếu cứ quy b là cạnh đối với góc B và c là cạnh đối với góc C thì tính h có thể sẽ sai.

Phương pháp giải bài tập về các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ta có 2 dạng bài phổ biến nhất trong chương trình Toán học về hệ thức lượng giác trong tam giác vuông như sau

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông