Tổng hợp Công thức cấp số nhân cấp số cộng và bài tập

Các công thức cấp số nhân cấp số cộng là nội dung quan trọng mà các bạn học sinh cần phải nắm vững để có thể áp dụng chúng vào giải các bài tập toán học. Đây là kiến thức không thể thiếu trong kì thi đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi, vì vậy Bảng Xếp Hạng sẽ cung cấp cho các bạn học sinh một bài học tổng hợp đầy đủ về các công thức cấp số nhân cấp số cộng đầy đủ và chi tiết nhất nhé!

Mục Lục

Công thức cấp số nhân cấp số cộng

Sau khi tìm hiểu rõ hơn về công thức lượng giác ở bài học trước thì hôm nay chúng ta sẽ đến với bài học mới là công thức cấp số nhân cấp số cộng:

Các công thức cấp số nhân cấp số cộng là các công thức ảnh hưởng tới các thành quả đặc trưng của 2 loại dãy số đó.

Các giá trị đặc trưng bao gồm: Số hạng đầu; Số hạng thứ n; Công bội của cấp số nhân; Công sai của cấp số cộng; Tổng của n số dạng đầu; Số hạng đứng giữa hai số hạng khác. Sau đây con người cùng nghiên cứu chi tiết từng bí quyết nhé.

Cấp số cộng là gì?

(u_n) là cấp số cộng với công sai d thì: u_n+1= u_n+ d

nếu như u_n+1– u_n là hằng số d với mọi n ϵ N^* thì (u_n) là cấp số cộng có công sai d.
nếu u_{n+1 –}u_ncòn phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số cộng.

bí quyết số hạng tổng quát: U_n= U₁+ (n−1)d , với n ≥ 2
Tính chất:

đặc biệt a,b,c là cấp số cộng ⇔ a + c =2b

Tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng:

Định nghĩa công thức cấp số cộng

Trong Toán học, cấp số cộng là một dãy số mà trong số đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều sẽ là tổng của số hạng đứng trước nó với một số không đổi khác 0 còn được nhắc đên là công sai.

Tính chất

U_n+1 – U_n = U_n+2 – U_n+1
nếu có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đấy luôn thỏa mãn m + q = 2n
Số hạng tổng quát: U_n= U₁+ d(n−1)
nếu như mong muốn tính tổng n số hạng đầu, ta có công thức:

Công thức cấp số cộng

Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n ∈ N*, U_n+1 = U_n+ d

Giải thích:

Với d còn được nhắc đên là công sai
U_n+1– U_n = d với mọi n ∈ N* ( trong số đó d là hằng số còn U_n+1; U_n là hai số liên tiếp của dãy số CSC)
Khi hiệu số U_n+1– U_n phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng

một vài VD bài tập cấp số cộng chi tiết, dễ hiểu

Tìm công sai d của cấp số cộng

[Trích từ đề thi đọc thêm lần 2 – năm 2020] Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = 3, u₂ = 9. Tìm công sai của cấp số cộng:

hướng dẫn giải:

Cấp số cộng U_nvới số hạng tổng quát U_n= U₁+ d(n−1)

Với số hạng đầu U₁và công sai d

Từ đó ta có: U₂= U₁ + d ⇔ 9 = 3 + d ⇔ d = 6

Vậy, công sai của cấp số cộng là 6.

Cách tính tổng của cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Công thức cấp số nhân

Khái niệm Cấp số nhân

Khái niệm: Cấp số nhân là một dãy số trong số đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.

Công thức tổng quát: Un+1=Un.q

Trong đó

n ∈ N*
công bội là q
hai số liên tiếp trong công bội là Un,Un+1

Tính chất

Un+1Un=Un+2Un+1
Un+1=Un.Un+2−−−−−−−√ , Un > 0
Ta thấy: {Un+1=Un.qun=u1.qn−1,(n≥2)⇒u2k=uk−1.uk+1,(n≥2)

+ Số hạng tổng quát: Un=U1.qn−1

+ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=U1+U2+…+Un=U11−qn1−q

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì Sn=U1+U2+…+Un=U11−q

Lưu ý: công thức cấp số nhân cấp số cộng thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ học nên em cần phải nhớ kĩ và chuẩn xác.

Ví dụ minh họa áp dụng công thức cấp số nhân cấp số cộng

VD 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, q = – 2.

a) Tính số hạng thứ 25 của cấp số nhân.

b) Số 49152 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

c) Tính tổng của 100 số hạng trước tiên của cấp số nhân.

Lời giải

a) Số hạng thứ 25 của cấp số cộng: u₂₅ = u₁. Q^25-1 = 3.(– 2)²⁴ = 3.2²⁴.

b) Gọi số hạng thứ k là số 49152, ta có

u_k = u₁.q^k-1 = 49152

⇔ 3.(-2)^k-1= 49152

⇔ (-2)^k-1= 16384 = (-2)¹⁴

⇔ k = 15

Vậy số 49152 là số hạng thứ 15 của cấp số nhân.

c) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

VD 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn:

a) Tìm số hạng trước tiên và công bội của cấp số nhân.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

c) Tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ +u₇ +…+ u₂₀₁.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Vậy u₁ = 16 và q = 2.

b) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

c) Dãy số là (v_n): u₁; u₃; u₅; u₇; … u₂₀₁ là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ và công bội

Dãy (v_n) cósố hạng

Một số bài tập áp dụng công thức cấp số nhân cấp số cộng

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng đấy lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này ta có:

Kết luận bốn số mà chúng ta cần phải tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp số cộng:

(un): $left{begin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21\ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 end{matrix}right.$

Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, {chúng ta|con người} có:

$left{begin{matrix} 3(u_{1} + 6d) - 2(u_{1} + 3d) = -34\ u_{1} + 4d +3(u_{1} + 2d) - (u_{1} + d) = -21 end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{1} + 3d = -7\ u_{1} +12d = -34 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{1} = 2\ d = -3 end{matrix}right.$

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp số cộng

$u_{n}: left{begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\ u_{4} + u_{6} = 26 end{matrix}right.$

Hãy tính công sai, {bí quyết|công thức} tổng quát cấp số cộng đã cho.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có:

$left{begin{matrix} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 10\ u_{1} + 3d + (u_{1} + 5d) = 26 end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{1} + 3d = 10\ u_{1} + 4d = 13 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{1} = 1\ d = 3 end{matrix}right.$

Công sai của cấp số cộng trên d=3, số hạng tổng quát là un = u1+(n-1)d = 3n-2

Bài 4: Cho cấp số cộng

$(u_{n}): left{begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\ u_{4} + u_{6} = 26 end{matrix}right.$

Hãy tính S = u1 + u4 + u7 +…+ u2011?

Giải:

Ta có các số hạng u1, u4, u7,…,u2011 lập được thành một cấp số cộng {bao gồm|gồm có} 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. {Do đó|vì lẽ đó|vì thế|vì vậy} ta có:

Bài 5: Cho cấp số cộng hãy {nắm rõ ràng|xác định} công sai và {bí quyết|công thức} tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$left{begin{matrix} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10\ u_{4} + u_{6} = 26 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{1} - (u_{1} + 2d) + u_{1} + 4d = 10\ u_{1} + 3d + u_{1} + 5d = 26 end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{1} + 2d = 10\ u_{1} + 6d = 26 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{1} = 1\ d = 3 end{matrix}right.$

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

{bí quyết|công thức} tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0 hãy tìm u1 biết rằng:

$left{begin{matrix} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{3} + u_{4}^{4} = 85\ u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 15 end{matrix}right.$

Giải:

$left{begin{matrix} u_{1}^{2}(1 + q^{2} + q^{4} + q^{6}) = 85\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3}) = 15 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{1}frac{q^{4} - 1}{q - 1} = 15\ u_{1}^{2}frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1} = 85 end{matrix}right.$

$Rightarrow (frac{q^{4} - 1}{q - 1})^{2} (frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1}) = frac{45}{17} Leftrightarrow frac{(q^{4} - 1)(q + 1)}{(q - 1)(q^{4} = 1)} = frac{45}{17}$

q = 2 hoặc q = $frac{1}{2}$

Kết luận u1 = 1 hoặc u1 = 8

Bài 7: Cho cấp số nhân sau:

$(u_{n}): left{begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\ u_{4} = frac{2}{27} end{matrix}right.$

Hỏi 5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết {chúng ta|con người} có:

$left{begin{matrix} u_{1}q^{2} = 243u_{1}q^{7}\ u_{1}q^{3} = frac{2}{27} end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{1}{243} = q^{5}\ u_{1}q^{3} = frac{2}{27} end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} q = frac{1}{3}\ u_{1} = 2 end{matrix}right.$

5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1 = 2, u2 = 23, u3 = 29, u4 = 27, u5 = 281

Bài 8: Cho cấp số nhân sau:

$(u^{n}): left{begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\ u_{4} = frac{2}{27} end{matrix}right.$

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

$S_{10} = u_{1}frac{q^{10} - 1}{q - 1} = 2.frac{(frac{1}{3})^{10} - 1}{q - 1} = frac{59048}{19683}$

Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn

$left{begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\ u_{1} + u_{5} = frac{82}{11} end{matrix}right.$

Hãy tính công bội và {bí quyết|công thức} tổng quát của cấp số nhân trên.

Giải:

a. Từ giả thiết mà đề bài đã cho ta có:

$left{begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\ u_{1} + u_{5} = frac{82}{11} end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} u_{2} + u_{3} + u_{4} = frac{39}{11}\ u_{1} + u_{1}q^{4} = frac{82}{11} end{matrix}right.$

$Rightarrow frac{q^{4} + 1}{q^{3} + q^{2} +q} = frac{82}{39}$

$Leftrightarrow (q - 3)(3q - 1)(13q^{2} + 16q + 13) = 0$

$Leftrightarrow q = frac{1}{3}$ hoặc q = 3

Trong TH $q = frac{1}{3} Leftrightarrow u_{1} = frac{81}{11} Leftrightarrow u_{n} = frac{81}{11}frac{1}{3^{n-1}}$

Trong TH q = 3 $Leftrightarrow u_{1} = frac{1}{11} Leftrightarrow u_{n} = frac{3^{n - 1}}{11}$

Tổng kết

Bài viết trên Bảng Xếp Hạng đã cung cấp cho bạn đầy đủ các kiến thức về công thức cấp số nhân cấp số cộng một cách chi tiết và đầy đủ để bạn có thể tham khảo. Hi vọng bài viết trên có thể giúp bạn áp dụng được dễ dàng công thức cấp số nhân cấp số cộng. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu thêm nhiều thông tin hữu ích khác nữa nhé!

Hãy Đánh Giá post

Tổng hợp Công thức cấp số nhân cấp số cộng và bài tập

Công thức cấp số nhân cấp số cộng

Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa công thức cấp số cộng

Tính chất

Công thức cấp số cộng

một vài VD bài tập cấp số cộng chi tiết, dễ hiểu

Tìm công sai d của cấp số cộng

Cách tính tổng của cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Công thức cấp số nhân

Khái niệm Cấp số nhân

Tính chất

Ví dụ minh họa áp dụng công thức cấp số nhân cấp số cộng

Một số bài tập áp dụng công thức cấp số nhân cấp số cộng

Tổng kết

Liên Kết Nổi Bật

Dịch Vụ