[Toán 9]Căn bậc 2 là gì? Tổng hợp công thức và bài tập căn bậc 2

Căn bậc 2 là gì? Công thức căn bậc 2, cách tính căn bậc 2 ra sao. Tất cả sẽ được bangxephang giải đáp trong bài viết hôm nay!

Bạn đang xem bài viết: căn bậc 2 là gì

Căn bậc 2 là gì?

Căn bậc 2 của một số a là một số x sao cho x2 = a, hay nói cách khác là số x mà bình phương lên thì = a.

Ví dụ, 2 và −2 là căn bậc hai của 2 vì 2² = (−2)² = 4.

Dấu căn được ký hiệu là √

• Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi là văn bậc 2 số học.

Ví dụ: Căn bậc hai số học của 16 là 4, ký hiệu √16 = 4, vì 4² = 4 × 4 = 16 và 4 là số không âm.

Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu đồng thời là ± √a.

Xem thêm: Căn bậc 2 số học là gì? Kiến thức tổng quan về căn bậc 2 số học

Những phép tính căn bậc 2 cơ bản nhất

Hãy nhớ một số số bình phương cơ bản và thường thấy nhất để khi khai căn bậc hai, bạn có thể tính nhẩm nhanh hơn:

0² = 0
1² = 1
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289

Một số công thức tính căn bậc hai cơ bản mà mọi người đều phải nhớ bao gồm:

Tính chất của căn bậc 2 là gì

• Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi là căn bậc hai chính, ký hiệu a−−√. Ở đây, √ được gọi là dấu căn.
  • Ví dụ: căn bậc hai chính của 9 là 3, ký hiệu 9–√ = 3, vì 32 = 3 × 3 = 9 và 3 là số không âm.
• Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: a−−√ là căn bậc hai dương và −a−−√ là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu đồng thời là ±a−−√.
• Mặc dù căn bậc hai chính của một số dương chỉ là một trong hai căn bậc hai của số đó, việc gọi “căn bậc hai” thường đề cập đến căn bậc hai chính. Đối với số dương, căn bậc hai chính cũng có thể được viết dưới dạng ký hiệu lũy thừa, như là a12.
• Hàm số căn bậc hai chính f(x) = x−−√ (thường chỉ gọi là “hàm căn bậc hai”) là một hàm số vạch ra tập hợp các số không âm. Căn bậc hai của x là số hữu tỉ khi và chỉ khi x là số hữu tỉ và có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số căn bậc hai của hai số chính phương.
  • x2−−√ = ∣x∣
  • = x nếu x≥0
  • = -x nếu x<0
• Với hai số a và b không âm, ta có:
  • a<b <=> a−−√<b√.
  • xy−−√ = x−−√. y√

Định nghĩa căn bậc 2 của một số âm và số phức

• Căn bậc hai của một số âm là số chỉ tồn tại trong một tập hợp bao quát hơn gọi là tập số phức.
• Bình phương của mọi số dương và âm đều là số dương, và bình phương của 0 là 0. Bởi vậy, không số âm nào có căn bậc hai thực.
• Một số mới, ký hiệu là i (đôi khi là j, đặc biệt trong điện học, ở đó “i” thường được dùng để mô tả dòng điện), gọi là đơn vị ảo, được định nghĩa sao cho i2 = – 1. Từ đây ta có thể tưởng tượng i là căn bậc hai của – 1, nhưng để ý rằng (−i)2 = i2 = – 1 do đó – i cũng là căn bậc hai của – 1. Với quy ước này, căn bậc hai chính của -1 là i. Hay tổng quát hơn, nếu x là một số không âm bất kỳ thì căn bậc hai chính của – x là −x−−−√ = ix−−√
• Đối với mọi số phức z khác 0 tồn tại hai số w sao cho w2 = z căn bậc hai chính của z và số đối của nó.

Định lí về so sánh toán 9 căn bậc 2 số học

Để thực hiện phép so sánh giữa các căn bậc hai số học, ta sử dụng một định lí đơn giản là: với mọi số a và b không âm (a,b ≥ 0) thì a < b ⇔ √ a < √ b.

Ví dụ, do 9 <10 nên √ 9 < √ 10 ⇔ 3 < √ 10 .

Xem thêm: Hệ số góc là gì? Cách giải bài tập hệ số góc như thế nào?

Bài tập luyện tập căn bậc 2

* Bài 1 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400

> Lời giải:

+ Ta có: √121 = 11 vì 11 > 0 và 11² = 121 nên

Căn bậc hai số học của 121 là 11. Căn bậc hai của 121 là 11 và – 11.

+ Tương tự:

Căn bậc hai số học của 144 là 12. Căn bậc hai của 144 là 12 và -12.

Căn bậc hai số học của 169 là 13. Căn bậc hai của 169 là 13 và -13.

Căn bậc hai số học của 225 là 15. Căn bậc hai của 225 là 15 và -15.

Căn bậc hai số học của 256 là 16. Căn bậc hai của 256 là 16 và -16.

Căn bậc hai số học của 324 là 18. Căn bậc hai của 324 là 18 và -18.

Căn bậc hai số học của 361 là 19. Căn bậc hai của 361 là 19 và -19

Căn bậc hai số học của 400 là 20. Căn bậc hai của 400 là 20 và -20.

* Bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: So sánh:

a) 2 và √3 ;     b) 6 và √41 ;     c) 7 và √47

> Lời giải:

a) 2 = √4

Vì 4 > 3 nên √4 > √3 (định lí)

→ Vậy 2 > √3

b) 6 = √36

Vì 36 < 41 nên √36 < √41

→ Vậy 6 < √41

c) 7 = √49

Vì 49 > 47 nên √49 > √47

→ Vậy 7 > √47

* Bài 3 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương tình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) x² = 2 ;         b) x² = 3

c) x² = 3,5 ;      d) x² = 4,12

Hướng dẫn: Nghiệm của phương trình x² = a ( với a ≥ 0) là các căn bậc hai của a.

> Lời giải:

a) x² = 2 ⇒ x₁ = √2 và x₂ = -√2

Dùng máy tính bỏ túi ta tính được:

√2 ≈ 1,414213562

Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba là:

x₁ = 1,414; x₂ = – 1,414

b) x² = 3 ⇒ x₁ = √3 và x₂ = -√3

Dùng máy tính ta được:

√3 ≈ 1,732050907

Vậy x₁ = 1,732; x₂ = – 1,732

c) x² = 3,5 ⇒ x₁ = √3,5 và x₂ = -√3,5

Dùng máy tính ta được:

√3,5 ≈ 1,870828693

Vậy x₁ = 1,871; x₂ = – 1,871

d) x² = 4,12 ⇒ x₁ = √4,12 và x₂ = -√4,12

Dùng máy tính ta được:

√4,12 ≈ 2,029778313

Vậy x₁ = 2,030 ; x₂ = – 2,030

* Bài 4 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm số x không âm, biết:

a) √x = 15;         b) 2√x = 14

c) √x < √2;         d) √2x < 4

> Lời giải:

* Lưu ý: Vì x không âm (x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.

a) √x = 15

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

x = 15² ⇔ x = 225

Vậy x = 225

b) 2√x = 14 ⇔ √x = 7

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

x = 7² ⇔ x = 49

Vậy x = 49

c) √x < √2

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2

Vậy 0 ≤ x < 2

Tổng kết

Hy vọng những thông tin mà bangxephang cung cấp đã giúp các bạn học sinh hiểu hơn về lý thuyết cũng như bài tập của phần kiến thức căn bậc 2 là gì. Chúc các bạn học tập thật tốt nhé