Bài viết sẽ chia sẻ với các bạn các hệ thức lượng trong tam giác thường, và trường hợp đặc biệt là trong tam giác vuông, đồng thời là những ứng dụng, các dạng bài toán và phương pháp giải bài tập về các hệ thức lượng trong tam giác
Bạn đang xem bài viết: hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lý cosin
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2b.c. cos A
b2 = a2 + c2 – 2a.c. cos B
c2 = a2 + b2 – 2a.b. cos C
Hệ quả
Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có:
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông
Định lý Sin
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a, CA = b, AB = c, và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có:
Công thức tính diện tích tam giác
Với ha, hb, hc lần lượt là đường cao của tam giác ABC vẽ từ các đỉnh A, B, C, ta có diện tích tam giác ABC:
Với, R là bán kính đường tròn loại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp, p là nửa chu vi của tam giác ABC, diện tích của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:
Giải tam giác
Phương pháp:
Một tam giác thường được xác định khi biết 3 yếu tố. Trong các bài toán giải tam giác, người ta thường cho ta giác với 3 yếu tố như sau:
- Biết một cạnh và 2 góc kề cạnh đó (g, c, g)
- Biết một góc và 2 cạnh kề góc đó (c, g, c)
- Biết 3 cạnh (c, c, c)
Để tìm các yếu tố còn lại của tam giác, người ta thường sử dụng các định lý cosin, định lý sin, định lý tổng 3 góc của một tam giác bằng 180o và đặc biệt có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Lưu ý:
- Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)
- Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.
Các dạng toán và phương pháp giải
Về các hệ thức lượng trong tam giác thường trong chương trình Toán học, ta có các dạng đặc trưng sau đây
DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác.
Phương pháp.
Sử dụng định lí côsin và định lí sin
Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác.
DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố của tam giác, tứ giác.
Phương pháp giải.
Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng.
Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,…)
DẠNG 3: Nhận dạng tam giác
Phương pháp giải.
Sử dụng định lí côsin; sin; công thức đường trung tuyến; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.
Xem thêm: Tổng hợp hệ thức lượng trong tam giác sin cos CHUẨN SGK
Bài tập hệ thức lượng trong tam giác thường
Bài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13
a. Tính số đo các góc của ΔABC
b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC
c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
d. Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 1200
a. Tính diện tích ΔABC
b. Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
Tổng kết
Trên đây là những kiến thức cơ bản về hệ thức lượng trong tam giác thường, cũng như phương pháp giải tam giác mà bangxephang.com muốn chia sẻ đến bạn đọc. Hi vọng qua những kiến thức này, bạn sẽ nắm hoàn thành tốt các bài tập này.
